Dezimale und binäre Zahlensysteme

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  • Unterschied der Darstellung von Zahlen im binären und dezimalen Zahlensystem
    Normalerweise rechnen wir im 10er Zahlensystem, dem Dezimalsystem.
    Die Basis 10 ist dabei völlig willkürlich gewählt. Der einzige Grund mit der Basis von 10 zu rechnen ist, das Menschen mit ihren 10 Fingern arbeiteten um Berechnungen durchzuführen.

    Zur Verdeutlichung:
    Rechnen in einem Zahlensystem mit der Basis 10 bedeutet, dass ein Übertrag zur nächsten Stelle nach der Verwendung der 10 möglichen Zeichen stattfindet. Der Zeichenvorrat im Dezimalsystem ist also 10. (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Die Wertigkeit der Stellen ist demnach: 1, 10, 100, 1000 und so weiter. Ein negativer Exponent, z.B. 10^-1 stellt den Nachkommawert dar. 10^-1 ist hiernach 1/10, 10^-2 = 1/100, 10^-3 = 1/1000 usw.

    Die Zahl 101 im Dezimalsystem drückt folgendes aus: (1 * 100) + (0 * 10) + (1 * 1) = 101 (dezimal)

    Im Binärsystem (Zweierzahlensystem) ist der Zeichenvorrat genau zwei Zeichen groß: 0 und 1. Nach der Verwendung der 1, erfolgt bereits ein Übertrag zur nächsten Stelle. Hier ist die Wertigkeit der Stellen: 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Ein negativer Exponent, z.B. 2^-1 stellt den Nachkommawert dar. 2^-1 ist hiernach 1/2, 10^-2 = 1/4, 10^-2 = 1/8 usw.

    Die Zahl 101 im Binärsystem drückt folgendes aus: (1 * 4) + (0 * 2) + (1 * 1) = 101 (binär) = 5 (dezimal)
    Die dezimale Darstellung der Zahl 532,25 sieht wie folgt aus:
    (5 * 10^2) + (3 * 10^1) + (2 * 10^0) + (2 * 10^-1) + (5 * 10^-2)
    500 + 30 + 2 + 2/10 + 5/100
    _________
    = 532.25
    Im binären Zahlensystem ist die Basis 2, im Gegensatz zum dezimalen, wo die Basis 10 lautet. Darstellung der Zahl 101,01 im Binärsystem:
    (1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0) + (0 * 2^-1) + (1 * 2^-2)
    4 + 0 + 1 + 0 + 1/4
    _________
    = 5.25 Decimal



    Wie INTEGER in Rechnern dargestellt werden
    Da es keinen Bruchteil (Nachkommawert) bei INTEGER gibt, ist die Darstellung sehr viel einfacher als für Fließkommazahlen. Es handelt sich also um ganze Zahlen. Normalerweise sind INTEGER in Rechnern zwei BYTE (16 BIT) groß. Das höchstwertige BIT zeigt das Vorzeichen an (positive oder negative Ganzzahl). Neben einem INTEGER gibt es auch einen LONGINTEGER, welcher vier Byte umfasst.
    Positive Zahlenwerte sind einfache binäre Zahlen. Zum Beispiel:
    1 dezimal = 1 binär
    2 dezimal = 10 binär
    22 dezimal = 10110 binär, usw.
    Negative INTEGER werden durch das Zweierkomplement dargestellt. Um das Zweierkomplement einer negativen Zahl zu erhalten, wird die Zahl zunächst binär als positive Ganzzahl im INTEGER dargestellt. Danach werden alle BITs des INTEGER umgekehrt. Als letzten Schritt wird der Wert 1 addiert.

    4 dezimal = 0000 0000 0000 0100
    1111 1111 1111 1011 Alle Bits umkehren (Flip the Bits)
    -4 = 1111 1111 1111 1100 Zahl 1 addieren (Add 1)
    Bei der Addition zweier Zahlen im Zweier-Komplement kommt immer das richtige Ergebnis heraus -
    auch wenn eine oder beide Zahlen negative Zahlen darstellen.

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